Удачные и неудачные ставки на спорт: тонкости математического ожидания

При заключении различных видов пари случайность играет довольно важную роль. Выигравшие в большинстве своем объясняют это везением. Однако, не стоит забывать, что букмекерская маржа в сочетании с законом больших чисел практически всегда сводят на нет фактор удачи в долгосрочной перспективе. Те, кто приобрел опыт прогнозирования и кому удается определить долгосрочное математическое ожидание должны помнить, что правила вероятности применимы и к ним.

Пример с подбрасыванием монеты

Абсолютно всем известно, что монета при подбрасывании выпадет либо «орлом», либо «решкой». Соответственно, вероятность того или иного исхода составляет 50 на 50, но нет никакой гарантии, что при множественных подбрасываниях в половине случаев монета упадет на определенную сторону.

Иногда это количество будет равнозначным, а иногда монета больше раз упадет на одну из сторон. Для более точного определения результата можно воспользоваться биномальным распределением. К примеру, для 20 подбрасываний оно будет выглядеть так:

Как видно из графика, в большинстве случаев диапазон вероятностей находится между пятью «орлами» и 15-ю «решками» и 15-ю «орлами» и пятью «решками». При более множественном повторении распределение будет следующим:

В этот раз видно, что диапазон несколько шире. В первом случае разница выпадения «орлов» равнялась десяти, а во втором произошло увеличение лишь в два раза (от 40 до 60 вероятностей выпадения «орлов»). Будет ли это означать, что увеличение размера выборки влияет на увеличение диапазона? И да, и нет.

Эксперименты математика Якоба Бернулли с таким сценарием показали, что абсолютная численная разница может повышаться при увеличении величины выборки, но в то же время, процентное количество «орлов» будет стремиться к отметке в 50%, что является определяющей основой закона больших чисел. Это наиболее важный фактор для игроков для понимания ими правил вероятности.

Среднеквадратическое отклонение для биномального распределения

Дисперсия (или диапазон) в распределении измеряется при помощи среднеквадратического отклонения. Для биномального распределения эту величину (σ) выражают при помощи такого уравнения:

Где n - число двоичных повторений (в нашем случае величина подбрасываний монеты), р - вероятность успеха (у нас это выпадение «орлов»), а q - вероятность невезения (выпадение «решки»). Принимая в расчет, что p + q = 1, получаем следующее уравнение:

В случае, когда p = q (то есть 0.5) оно станет выглядеть так:

При 20 подбрасываниях σ = 2.24, а при 100 подбрасываниях σ = 5, что позволяет узнать диапазон большинства вероятных результатов.

Таким образом, мы подтвердили вывод Бернулли о том, что увеличение размера выборки напрямую влияет на абсолютную вариацию. Но что же будет, если мы заменим абсолютные показатели на процентную величину выпадения «орлов»? для вычисления процентного значения нужно разделить количество выпавших «орлов» на общее число подбрасываний монеты (n). Таким же способом мы вычислим среднеквадратическое отклонение процентных значений. Ниже представлен результат, полученный для простых пари с вероятностью 50 на 50 того или иного исхода.

Теперь при 20 подбрасываниях среднеквадратическое отклонение процентного значения числа «орлов» составит 0.11 (11%), однако, для 100 подбрасываний оно понизится и будет равняться 0.05 (5%).

Закон больших чисел

Принимая во внимание закон больших чисел можно утверждать, что среднее значение результатов приближается к ожидаемому показателю по мере увеличения количества экспериментов. Что касается нашего примера с монетой, то увеличение числа подбрасываний приближает к 50% показатели выпавших «орлов».

Учитывая, что среднеквадратическое отклонение процентных значений пропорционально квадратному корню из количества подбрасываний, то эти две переменные образуют отношение степенного закона. Само же среднеквадратическое отклонение зависит от степени или логарифма величины подбрасываний. График ниже представляет это в виде прямой, при возведении n в квадрат каждый раз значение σ будет увеличиваться в два раза.

Отношение степенного закона предполагает уменьшение среднеквадратического отклонения в нескольких первых экспериментах. С σ = 0.5 после первого подбрасывания оно уменьшилось до σ = 0.1 после 25 подбрасываний, что составляет четыре пятых до предельного нулевого значения (при бесконечном числе подбрасываний). В таком случае мы можем наглядно увидеть, как быстро действует закон больших чисел. Чтобы представить это визуально необходимо эту диаграмму перевести в линейный масштаб.

Выигрыш и проигрыш при заключении пари на спорт

Подобная аналогия с «орлами» и «решками» применима к выигрышам и проигрышам на ставках. По сути, ставка - это пари с двумя возможными исходами: она либо выиграет, либо нет. Исходя из этого заключения можно утверждать, что для простых ставок с равно вероятными противоположными исходами распределение результатов будет тоже определяться с помощью биномального закона.

Примерами таких ставок являются пари на американских видах спорта или на футбольные матчи с азиатским гандикапом. В них фора делает ставку равновероятной по ожиданию исходов (при наличии коэффициента 2.00), но не стоит ограничиваться лишь теми пари, в которых присутствует такая вероятность. Принимая во внимание уравнение для среднеквадратического отклонения процентных значений, стоит учитывать иные ожидаемые процентные значения выигрышей, что показано в формуле:

Даже опытные бетторы, которые умеют рассчитывать нужные значения и получают прибыль при долгосрочных ставках знают, как переменчива возможность случайного исхода в таких сложных системах. В реальности игроки без достаточного опыта не смогут выйти на уровень прибыльности только при соблюдении условий математического ожидания. В таком случае, учитывая маржу букмекера, после 1 000 ставок игрок в большинстве случаев окажется в проигрыше.

Для примера возьмем вариант, когда игрок в течение длительного времени совершает ставки только с вероятностью исходов 50 на 50 и выигрывает в 55% пари. Влияние биномальных правил дисперсии обязательно скажется. Используя уравнение выше можно определить, что в данном случае среднеквадратическое отклонение процентного значения побед после 275 заключенных пари составит 3%, а это около двух третей от вероятности, что котировки на победу будут в диапазоне 52-58% для ставок такого характера.

При продолжении заключения пари с одинаковой вероятностью выигрышей для всех ставок можно с помощью биномального распределения определить возможность любого исхода. Ниже представлены иллюстрации для нескольких историй пари. В первой всего 20 ставок и значения на графике выражают общую вероятность того, что процентная величина выигрышей будет выше определенного показателя. Пример: при 20% от долгосрочного математического ожидания ожидание выигрыша для 30% пари составит 9%, а вероятность победы во всех ставках равняется 1%, что значительно ниже, чем игрок ожидает.

Красные и зеленые области указывают на зоны убыточности и прибыльности (при условии справедливых коэффициентов). Как видно из этой иллюстрации даже после 20 ставок «один к одному» три четверти из всех случаев принесут выигрыш, как минимум, по девяти пари. Так работает закон больших чисел, который защищает игрока от увеличения процентного показателя убытков.

Есть и другое следствие: при более частых выигрышах, чем ожидалось, прибыль будет весьма небольшой. Даже для опытных бетторов, которые могут спрогнозировать 55% своих выигрышей в пари «один к одному», вероятность «захода» 14 ставок из 20 составит лишь 13%, что демонстрирует обратную сторону закона больших чисел, который не позволяет увеличить процентный показатель прибыли.

Желтая зона означает область безубыточности бетторов. Она довольно незначительна по размеру и ярко демонстрирует тонкую грань между везением и невезением. Взгляните, что происходит с этой зоной после 100 заключенных пари.

Как видно - шансы на превосходство математического ожидания над долгосрочным стали ниже. Что же будет после 1 000 ставок?

Отсюда становится понятно, что неопытные игроки не смогут выти на уровень безубыточности, рассчитывая лишь на математическое ожидание. После 1 000 пари с учетом маржи букмекерской конторы общий проигрыш, практически, неизбежен. Но, в случае с более опытными бетторами, картина несколько иная: при таком количестве ставок и выигрыше в 55% случаев шансы на долгосрочную прибыль довольно высоки (при справедливых коэффициентах букмекера).

Существует выражение, что разница между процентным значением ставок, выигранных успешными игроками относительно небольшая при сравнении с такими же показателями неудачливых бетторов. Из этих иллюстраций видно, насколько это соответствует действительности и как закон больших чисел может проявить себя при заключении пари.

Всем понятно, что большинство ставок не так просты, как представлено в этом материале и их коэффициенты и суммы разнятся. Для такого более сложного анализа можно использовать технику моделирования «по методу Монте-Карло», а также не стоит забывать о дисперсии фактических значений прибылей и убытков ( более высокие котировки повышают это значение).

Проверка достоверности историй пари

Остается только рассказать, как использовать информацию о среднеквадратическом отклонении для проверки историй ставок. Для примера выберем компанию по продаже прогнозов с «честным подходом к работе». Всем понятно, что специалисты их аналитического отдела знакомы с явлением случайности в заключении спортивных пари и они сообщают своим клиентам что гарантированный выигрыш - понятие, отсутствующее в природе, а элемент везения всегда присущ в такого рода соревнованиях.

Однако, если верить их информации, они спрогнозировали верно 76% из 11 000 опубликованных ставок. При подробном разборе их материалов это оказалось действительно так и процентный показатель выигрышей по их прогнозам соответствует заявленным 76%, а коэффициенты 94% всех ставок варьируются от 1.67 до 2.50, что вполне неплохо. Предполагаемая вероятность «захода» в выборке - 52,2%, что при вычете маржи букмекера составит около половины от общего числа. Но теперь давайте посчитаем с помощью формул из нашей статьи.

Помесячные выборки с марта 2014 по октябрь 2018 годов (56) показали, что в месяц в среднем компания предлагает 184 прогноза. При учитывании 75% показателя выигрышей в долгосрочной перспективе и с помощью уравнения из нашего материала можно определить, что показатель среднеквадратического отклонения по информации компании составил около 3% в месяц. На самом же деле он составил 8.6% и это намного выше заявленного. Даже для месяца с минимальным количеством прогнозов (32) его величина была 7.7%, что явно выше.

Такое процентное отклонение соответствует выборке из 26 прогнозов в месяц, но никак не 184, указанных компанией. В декабре 2014 года был сделан 151 прогноз, а величина средней вероятности выигрыша составила 51.4%, но с учетом таких коэффициентов абсолютно невозможно ожидать увеличение прибыли с заявленными показателями.

Можно лишь гадать с чем связано такое расхождение, но ориентируясь на информацию из нашего материала о пределах ожидаемой прибыли, становится понятно, что коэффициент успешности прогнозов 76% в долгосрочной выборке - это из области фантастики.