Точен ли был рынок ставок на выборы президента США?

Большинство ведущих американских и мировых СМИ уже объявили Джо Байдена новым президентом США. При этом нет никакого сомнения, что Дональд Трамп будет до последнего оспаривать свой проигрыш в судах. До того момента, пока ясность не наступит окончательно, игроки, поставившие на действующего главу государства, будут надеяться на благоприятный для себя исход.

Как это нередко бывает, итоговые результаты значительно отличались от опросов общественного мнения, проводимых накануне выборов. Конечно, большинство респондентов называли Байдена главным претендентом на победу, но все же разрыв в голосах оказался вовсе не столь грандиозным. Кроме того, республиканцы получили большинство мест в сенате, хотя прогнозы были прямо противоположные.

Однако разница между просто опросами граждан и мнениями игроков, участвующих в рынке ставок, - это, как говорят в Одессе, две большие разницы. Ведь бетторы рискуют собственными деньгами, а значит, их выбор должен быть максимально непредвзятым. Но так ли это в случае президентских выборов-2020?

Анализ коэффициентов на победителя выборов 2020 года в США

Прямо накануне выборов, 3 ноября, основные рынки ставок предлагали коэффициент около 1,50 на победу Джо Байдена, а для Дональда Трампа – как минимум 3,00. На популярном экспертном сайте FiveThirtyEight на момент остановки обновлений вероятность победы Байдена составляла 89 %. И хотя и в 2016 году результаты опросов не подтвердились итогами выборов, на этот раз сразу несколько факторов указывали на то, что история вряд ли повторится:

1) Байден лидирует с большим разрывом, чем Хиллари Клинтон, особенно в колеблющихся штатах;
2) Байден не Хиллари Клинтон;
3) Байден не Дональд Трамп;
4) Байден придерживается умеренных политических взглядов, а не прогрессивных или социалистических;
5) теперь мы знаем, кто Дональд Трамп на самом деле;
6) COVID-19 и вызванный пандемией экономический кризис.

Интересно и высказывание самого Байдена: по его словам, победить белого мужчину за 70 может только другой белый мужчина за 70. Но можно ли считать президентскую гонку Байдена и Трампа одним из ярчайших в истории ставок примером эффекта предвзятости при оценке фаворитов и аутсайдеров?

Здесь имеется ввиду не только степень предвзятости, но и стоящая на кону денежная сумма. Некоторые могут небезосновательно заявить, что эти выборы тоже являются редким исключением, ведь у нас не было архивных данных, по которым можно сделать качественный прогноз. Однако если признать, что настоящий коэффициент Байдена составлял 1,20, но рынок установил коэффициент 1,50 ближе к закрытию, то выходит, он является крайне предвзятым. Если это так, то математическое ожидание составляет приблизительно 25 % и, руководствуясь стратегией на основе критерия Келли, следует поставить 50 % от своего депозита.

Однако не совсем ясно, откуда взялась такая предвзятость. Победа Трампа никогда не была настолько маловероятной, чтобы на нее ставили только любители острых ощущений. Это можно объяснить тем, что знающие игроки с большим оборотом предвидели ошибочность опросов, так как они «всегда ошибаются», а также тем, что в категориях населения, поддерживающих Трампа, больше игроков, которые ставят большие суммы.

Модель для расчета фактических коэффициентов: ставки по штатам 

Как все же определить, были ли точными коэффициенты для Байдена и Трампа? Очевидно, что нам нужен косвенный показатель. Один из вариантов - использовать рынок ставок по штатам, взяв вероятности для каждого из 50 штатов США и округа Колумбия, и сложив ожидаемые голоса коллегии выборщиков (xECV). Например, шанс победы Трампа в штате Флорида составлял 61 %. Учитывая, что на кону в этом штате стояли 29 голосов коллегии выборщиков, получаем 17,7 xECV (29 x 0,61) для Трампа и 11,3 для Байдена (29 x 0,39).

На бирже ставок были представлены коэффициенты для всех штатов США. На более традиционных ликвидных рынках ставок эта биржа может быть не менее эффективной, чем БК Pinnacle. Судя по коэффициентам с 23:45 по 00:00 во вторник, 3 ноября, общий показатель xECV для Байдена составлял 308, а для Трампа — 230.

Пока все еще проходит пересчет голосов в Джорджии и ожидается еще один в Висконсине. Однако в обоих случаях Байден лидирует с достаточным разрывом, чтобы можно было исключить вероятность изменения результата. Северная Каролина и Аляска еще не огласили результаты, но победа Трампа в этих штатах почти гарантирована. Если эти прогнозы сбудутся, окончательные результаты будут такими: 306 за Байдена и 232 за Трампа. Получается, что биржа ставок по штатам действительно весьма точно предсказала конечные итоги.

Модель Монте-Карло 

Разумеется, самый вероятный исход по голосам коллегии выборщиков не говорит нам о том, какими были коэффициенты на победу Байдена и Трампа. Чтобы узнать их, проще всего запустить модель Монте-Карло. Используя равномерно распределенное случайное число, чтобы моделировать результат для каждого штата, мы можем многократно испытать модель выборов и посчитать количество случаев победы каждого из кандидатов.

При этом, если случайное число окажется ниже вероятности победы кандидата на основе коэффициентов, он забирает все голоса коллегии выборщиков. Если оно окажется выше, кандидат не получает голосов. В рамках этой модели предположим, что в штатах Мэн и Небраска, которые делят голоса коллегии выборщиков, а не отдают их все победителю, выборы будут проходить так же, как в остальных 49. Эти штаты решают судьбу четырех и пяти голосов соответственно из общих 538, поэтому не могут существенно повлиять на наш конечный результат.

На Диаграмме 1 показано распределение голосов коллегии выборщиков за Байдена и Трампа по результатам 100 000 испытаний модели выборов. Байден выиграл в 89,9 % случаев, то есть фактический коэффициент составляет 1,125, что почти в точности совпадает с прогнозом FiveThirtyEight:

Но у этой модели есть важный недостаток. По лучшим прогнозам FiveThirtyEight, Байден должен был набрать 348 голосов коллегии выборщиков, а Трамп — 190. Расхождение возникает, потому что в нашей модели голоса каждого штата рассматриваются независимо от остальных. В результате моделируемое количество голосов коллегии выборщиков варьируется значительно меньше (стандартное отклонение составляет 32 голоса), чем в реальности, поэтому Байдену намного проще победить.

Неудивительно, что это предположение ошибочно. Очевидно, что присутствует ковариантность на уровне страны (например, в связи с COVID-19), то есть если один штат проголосует определенным образом, другой с большой вероятностью проголосует так же. Именно из-за этой ковариантности букмекеры не разрешают размещать экспресс-ставки на рынках для отдельных штатов.

Понятно, что специалисты FiveThirtyEight стремятся составить изощренную модель ковариантности, чтобы учесть корреляцию голосов между штатами. С другой стороны, мы применили очень грубое исправление, с которым вряд ли удалось бы сдать экзамен по статистическому моделированию. Используя второе нормально распределенное случайное число, мы применили положительное или отрицательное отклонение к 51 случайному числу из предыдущей модели, чтобы обеспечить корреляцию всех отклонений. Результаты этой «ковариантной» модели приведены на Диаграмме 2:

Здесь мы видим намного больше вариаций в количестве голосов коллегии выборщиков, а также пересечений между штатами, выигранными Байденом и Трампом. Теперь Байден выигрывает в 71,7 % случаев, то есть фактический коэффициент составляет 1,39. Несмотря на простоту второй модели, варьирование числа голосов коллегии выборщиков (стандартное отклонение составляет 63 голоса) в целом получилось таким же, как в модели прогнозирования FiveThirtyEight (59 голосов).

Насколько предвзятым был рынок ставок на победителя выборов 2020 года в США? 

Итак, собрав коэффициенты для отдельных штатов на бирже ставок, мы получили коэффициент 1,68 на победу Байдена. Если в нашей модели фактический показатель составлял 1,39, то математическое ожидание по-прежнему равно 21 %. В последние дни перед 3 ноября как на бирже ставок, так и у БК Pinnacle коэффициент на победу Байдена составлял около 1,50, и именно тогда была собрана большая часть суммы поздних ставок. Однако при этом по-прежнему получается математическое ожидание (8 %), указывающее на предвзятость при оценке фаворитов и аутсайдеров.

Если поиграть с симулятором выборов от FiveThirtyEight, можно найти сценарии, в которых для Байдена устанавливается коэффициент 1,33, и он получает 299 голосов коллегии выборщиков либо сценарии с коэффициентом 1,52 и 282 голосами. Похоже, эти показатели в целом согласуются с нашими. Таким образом, получается, что коэффициент 1,50 (и уж тем более 1,68) слишком высок, если прогнозируемое количество голосов коллегии выборщиков за Байдена составляет 308. Теперь мы можем смело заявить: да, рынок ставок на победителя был предвзятым, но, возможно, не так значительно, как это казалось сначала.

С точки зрения оборота рынки для отдельных штатов намного меньше, чем рынок ставок на победителя, и потому еще больше удивляет, насколько менее эффективным оказался последний. Как правило, оборот рынка коррелирует с его эффективностью. Чем больше денег, тем больше мнений, больше компенсируются случайные ошибки, лучше проявляются коллективный разум и парадокс мастерства и т. д.  А в этом случае рынок ставок на победителя стал крупнейшим рынком в истории БК Pinnacle.

Интересно, что если посмотреть на коэффициенты для 51 рынка ставок в отдельных штатах, только в одном из них — Джорджии — фаворит проиграл. Во всех остальных штатах с небольшим разрывом — Северной Каролине, Флориде, Огайо, Аризоне, Висконсине, Миннесоте, Пенсильвании, Техасе и Мичигане — биржа ставок верно предсказала конечный результат.

Анализ ставок во время голосования 

Намного меньше сомнений вызывает огромная неэффективность рынка ставок на победителя во время голосования. Как только была объявлена победа Трампа во Флориде, началась паника. Бетторы решили, что повторяется 2016 год, ведь тогда Хиллари Клинтон была фавориткой с куда большим разрывом, чем Байден, но с появлением первых результатов баланс рынка сильно сместился в сторону Трампа, где и был зафиксирован.

Теперь же все произошло иначе. Во-первых, Байден лидировал в опросах с большим разрывом, чем Клинтон, как в целом, так и в некоторых колеблющихся штатах. Во-вторых, Байдену не нужна была победа во Флориде, чтобы попасть в Белый дом, а вот Трампу она определенно была необходима. Наконец, и что важнее всего, многие игроки забыли, что подсчет заочных и отправленных по почте бюллетеней выполнялся позже. Неудивительно, что в основном это были голоса за Байдена, учитывая, что он призывал своих сторонников голосовать таким образом для защиты от корнавируса.

Вспомним, что Трамп недооценивал опасность пандемии и многократно заявлял, что крупномасштабное голосование по почте приведет к мошенничеству и станет позором для США.

Паника достигла апогея, когда коэффициент на победу Трампа уменьшился до 1,24. Однако ранним утром в среду, 4 ноября, стало очевидно, что его первоначальное преимущество в некоторых колеблющихся штатах, победа в которых крайне важна для Байдена, уменьшалось в связи с поздним подсчетом бюллетеней, отправленных по почте. Кроме того, это преимущество было легко предсказать, посмотрев на данные опросов.

В последующие дни исход был решен. Те, кому хватило ума и дисциплины, чтобы не сомневаться в победе Байдена и в том, что он с самого начала был сильным фаворитом, получат хорошую прибыль с арбитражных ставок. А остальным, особенно тем, кто всегда верил, что молния ударит дважды и опросами занимаются одни идиоты, придется поплатиться за свою ошибку.

Да, социологи иногда ошибаются. Похоже, так произошло и в этот раз, хотя не в катастрофических масштабах, не за пределами доверия и точно не в прогнозах относительно победителя. Очень редко, как в этот раз, крупные рынки ставок тоже ошибаются. Но небольшие рынки ставок для отдельных штатов подсказали, что происходило на самом деле. Скажем так: все рынки эффективны, но некоторые эффективнее других.