Начало карьеры Худобина в российском чемпионате было положено в сезоне 2004/2005 в составе магнитогорского «Металлурга». В 2004 году он был выбран клубом «Миннесота Уайлд» в седьмом раунде драфта НХЛ под номером 206. В Национальной хоккейной лиге, помимо «Миннесоты», он выступал за такие команды, как «Бостон Брюинз», «Каролина Харрикейнз», «Анахайм Дакс» и «Чикаго Блэкхокс», где демонстрировал свои вратарские навыки.
В сезоне 2023/2024 Континентальной хоккейной лиги (КХЛ) Худобин представлял команду «Сибирь», а также играл за «Сокол» в Высшей хоккейной лиге (ВХЛ). В марте 2024 года контракт вратаря с «Сибирью» был расторгнут после того, как он принял участие в пяти матчах за эту команду.
В составе национальной сборной России Антон Худобин стал чемпионом мира в 2014 году, хотя и не выходил на лед ни в одном из матчей турнира. Также он завоевал серебряную медаль на чемпионате мира 2015 года, где внес свой вклад в успех команды. За свою карьеру он запомнился как надежный и опытный вратарь, способный демонстрировать высокий уровень игры в различных лигах и на международной арене.
