Сколько можно выиграть на ставках. Моделируем диапазон доходности пари

Совсем недавно я рассматривал показатели доходности одного известного прогнозиста, специализирующегося на скачках. Прибыль от оборота 1015, рекомендованных этим человеком, «ставок дня» одинакового размера (прогнозы по этим ставкам считались наиболее надежными) составила –4,3 %.

«Выборка такого размера вполне подходит для проверки общей прибыльности прогнозиста», – решил я, особенно не задумываясь над этим. Ведь 1000 прогнозов – это довольно много, не так ли?

При этом разве у нас нет оснований считать, что надежность прогнозов упомянутого типстера относительно скачек, вероятно, далеко не самая высокая?

Один из моих подписчиков в Twitter написал мне: «Не то чтобы я не согласен с вашей точкой зрения, но... достаточно ли 1000 ставок для того, чтобы сделать какой-либо точный вывод?».

После минутного размышления я пришел к выводу, что, вероятно, нет. Вот что я ответил подписчику.

«Вы действительно правы. Средний коэффициент для выигрышных "ставок дня" – 2,62. Давайте предположим, что коэффициенты остальных двух третей ставок (они не сообщаются), оказавшихся проигрышными, были несколько выше (именно поэтому эти ставки проиграли). Таким образом, средний коэффициент составит приблизительно 3,0.

Ожидаемое среднеквадратическое отклонение величины дохода для выборки из 1015 ставок будет примерно 0,045 (4,5 %). Предположим, что долгосрочное математическое ожидание для этого прогнозиста составляет 4,5 %. Тогда полученная величина близка к ожидаемому значению. Вместо этого предположим, что математическое ожидание типстера было безубыточным. В этом случае наблюдается одно среднеквадратическое отклонение от ожидаемого значения. В этом нет ничего хорошего, но такая ситуация вполне возможна.

Теперь давайте предположим, что показатель прогнозиста должен составить +4,5 %. Это соотносится примерно с двумя среднеквадратическими отклонениями от текущего значения или же приблизительным значением вероятности 2,5 %. Каппер может продолжать утверждать, что его долгосрочное математическое ожидание составляло +4,5 % и что ему просто не повезло. Но, поскольку ожидаемая доходность по-прежнему должна быть выше, утверждать, что продемонстрированный на примере 1015 ставок результат всего лишь следствие невезения, становится все сложнее».

Как была получена цифра 4,5 % для ожидаемого среднеквадратического отклонения величины дохода? Цель этой статьи – дать ответ на этот вопрос, а также показать, как это знание может помочь во время сравнения фактической эффективности ставок с любыми существующими ожиданиями.

Математика распределений значений доходности ставок

У ставок бинарный характер: они либо выигрывают, либо проигрывают. Для выборки ставок в количестве n, где каждая из них имеет «истинную» вероятность выигрыша p, среднеквадратическое отклонение (или разброс) возможных процентных показателей выигрышей определяется по следующей формуле.

Например, если у нас есть 100 ставок и вероятность выигрыша каждой 50%, можно ожидать, что размер выигрыша составит 50%, а среднеквадратическое отклонение – 5 %. То есть около двух третей всех возможных результатов будут в пределах от 45 до 55%, а около 95% – в диапазоне между 40 и 60%.

Забудьте о выигрышах и проигрышах. Задумайтесь о фактической прибыли. Нам просто нужно немного подкорректировать формулу, включив в нее коэффициенты ставок. Теперь, когда для каждой ставки указан коэффициент o, среднеквадратическое отклонение величин потенциального дохода (или прибыли от оборота) можно определить по формуле.

Предположим, что «истинная» вероятность выигрыша равна 60% для предлагаемых букмекером коэффициентов ставок evens. Это очень выгодное предложение. Среднеквадратическое отклонение величин потенциального дохода от 100 ставок составило бы 9,798%, что сопоставимо с величиной ожидаемого дохода 20%.

Для «чистых» коэффициентов o = 1 / p. Следовательно приведенную выше формулу можно упростить еще.

Хотя этот особый случай действительно применим только тогда, когда математическое ожидание игрока безубыточно (доход = 0%), разница между o и 1/p обычно невелика как для неопытных игроков, чьи выигрыши меньше из-за букмекерской маржи, так и для опытных игроков, которым удается преодолеть маржу, так что, возможно, для упрощения имеет смысл использовать именно этот метод. Это показано на рисунке ниже.

При использовании упрощенной формулы в приведенном примере среднеквадратическое отклонение всегда равно 10% независимо от значения p. Но это значение довольно близко к фактическому среднеквадратическому отклонению для диапазона вероятностей выигрыша от 40 до 60%. Помните, ни один игрок, по крайней мере тот, кто делает ставки в Pinnacle, не должен делать ставки evens при процентном показателе выигрыша 40% и ниже.

В большинстве случаев размер маржи БК Pinnacle варьируется от 1 до 3%. Вероятность выигрыша ставки с коэффициентом 2,0 и маржей 2% составляет приблизительно 49%. (Среднеквадратическое отклонение величины дохода от 100 ставок составляет 9,998%.) Аналогично процентные показатели выигрышей лучших игроков на ставках в диапазоне от 55 до 56% (среднеквадратическое отклонение величины дохода от 100 ставок составило бы 9,928 %).

О чем говорит среднеквадратическое отклонение величины дохода?

Давайте вернемся к примеру, упомянутому в начале этого материала, и подумаем, какие выводы можно сделать, обладая информацией о среднеквадратическом отклонении величины дохода.

Итак, если представить, что средний коэффициент (o) для 1015 ставок (n) одинакового размера 3,0, а «истинная» вероятность выигрыша, подразумеваемая математическим ожиданием –4,3 %, составляет 32% (p), то применение приведенной выше формулы позволит нам узнать, что среднеквадратическое отклонение величины дохода будет равно 4,39% (или 4,44%, если использовать упрощенную формулу).

Распределение величин потенциального дохода от ставок на основании математического ожидания приведено ниже. Вы можете с легкостью построить такое распределение в Excel, просто воспользовавшись функцией NORMDIST. В теории эти распределения биномиальны и, следовательно, дискретны (если выборка включает более 30 ставок), нормальное (непрерывное) распределение - это очень надежный показатель, который можно применять для приблизительной оценки и который более удобен в использовании при построении таких диаграмм в Excel.

Значения в области ниже кривой синего цвета в сумме составляют 100%. В этом сценарии мы предположили, что величина фактического дохода соответствует математическому ожиданию. Но, поскольку коэффициенты достаточно высоки, разброс возможных результатов довольно широк, из чего следует, что наступление даже наиболее вероятного результата (–4,3%) возможно менее чем в 10 % случаев.

Был ли прав тот подписчик в Twitter, который засомневался в моем первоначальном наблюдении? В принципе, да. Хотя прогнозы из изученной сводки результатов каппера нельзя считать примером самых надежных рекомендаций, на основании этого невозможно сделать вывод о том, что деятельность этого прогнозиста характеризуется отрицательным математическим ожиданием. В этом сценарии прибыльность фиксируется в 13,65% случаев, что находится в пределах статистической приемлемости. Так что вполне возможно, что математическое ожидание этого типстера лучше показателя –4,3 % и ему просто не повезло.

Предположим, что математическое ожидание прогнозиста безубыточно. Теперь распределение будет выглядеть следующим образом: величины потенциального дохода меньше фактических значений в 16,13% случаев – это значение слишком высоко для того, чтобы исключить вероятность влияния фактора невезения.

А если математическое ожидание +4,3%? Тогда распределение будет выглядеть следующим образом. В 2,76% случаев показатели эффективности по-прежнему ниже фактических значений. Цифра небольшая, но можем ли мы полностью исключить невезение? Это случится более чем с одним из 40 капперов.

Наконец, давайте поверим обещаниям каппера, что его прогнозы по ставкам на скачки действительно самые точные и что в большинстве случаев эти прогнозы могут обеспечить 10% прибыли от оборота. Далее представлено соответствующее распределение величин потенциального дохода.

Прибыли нет почти в 2% случаев, а показатель меньше зафиксированного значения 4,3 % наблюдается реже, чем в одном случае из 1000. Похоже, мы можем упрекнуть каппера в излишней самоуверенности.

Владея информацией о средней величине коэффициента, размере дохода и количестве ставок, мы можем рассчитать ожидаемое среднеквадратическое отклонение величин потенциального дохода и построить практически любое распределение. При этом фактический результат можно противопоставить тому, что мы могли, по нашему мнению, достичь.

Если существует лишь небольшая вероятность получения дохода (и если полагаться на собственное мнение о том, каким должен быть результат, например менее 1% или ровно 0,1%), тогда вам стоит рассмотреть возможность проведения оценки математических ожиданий.

Изменение коэффициентов ставок

Выясним, как меняется распределение величин потенциального дохода от ставок для разных коэффициентов. Ниже приведены примеры для сценариев с безубыточным математическим ожиданием.

Как видите, чем выше коэффициенты ставок, тем больше дисперсия результатов, это неудивительно. Конечно, для этих сценариев с дисперсия (или квадрат среднеквадратического отклонения) прямо пропорциональна значению, полученному в результате вычитания единицы из величины коэффициента.

Если вы делаете ставки с высокими коэффициентами, вероятность того, что вам удастся превзойти ожидаемые показатели результативности, будет выше в основном благодаря влиянию фактора везения («хвосты» распределений шире, если доходы выше). Конечно, верно и обратное.

Изменение количества ставок

Посмотрим, как количество ставок влияет на наше распределение. Из формулы следует, что среднеквадратическое отклонение величины дохода обратно пропорционально квадратному корню из числа ставок. Значит, разброс значений для безубыточного математического ожидания по 100 ставкам одинакового размера (10%) будет в десять раз больше соответствующего разброса для сводки, включающей 10 000 ставок (1%). Примеры приведены ниже.

Сужение и увеличение высоты распределений на фоне увеличения количества ставок - это, по сути, визуальная интерпретация закона больших чисел. Чем больше выборка, тем выше вероятность того, что полученный результат будет мерой истинного математического ожидания.

Как долго продлится карьера неопытных игроков?

В заключение задумаемся над тем, сколько времени понадобится неопытному игроку в БК Pinnacle с математическим ожиданием –2,5 %, чтобы понять, что ему не хватает навыков. Информация об ожидаемом среднеквадратическом отклонении величины дохода поможет ответить на этот вопрос.

В таблице ниже приведены значения вероятности того, что после серии ставок с разными коэффициентами игрок на ставках будет играть в плюс.

В букмекерских компаниях с небольшой маржой при определенной доле везения вы сможете многого добиться, особенно если будете делать ставки с высокими коэффициентами. Помните, что, если удача отвернется от вас, высокие коэффициенты приведут вас к банкротству гораздо быстрее.

Ниже приведена аналогичная таблица, но на этот раз для вероятностей проигрыша в размере 10%. Такой результат - следствие большей дисперсии (и более широкого диапазона распределений величин потенциального дохода).

Эффективна ли формула в реальности?

Возможно, у вас возник вопрос, насколько результативна формула в случае оценки среднеквадратического отклонения величины дохода от ставок, сделанных с различными коэффициентами. До сих пор мы исходили из того, что коэффициенты всех ставок одинаковы. При этом большинство игроков, разумеется, делают ставки с разными коэффициентами. Можно ли просто взять среднее значение коэффициентов ставок и получить достоверное среднеквадратическое отклонение величины дохода?

Вернемся к нашему прогнозисту. Я самостоятельно заполнил недостающие значения коэффициентов (для неопубликованных прогнозов по проигрышным ставкам) и вывел среднее значение, равное 3,0. Мой фактический разброс коэффициентов был значительным: от 1,73 до 15,0.

Используя генератор случайных чисел в Excel для воспроизведения результатов с математическим ожиданием каждой ставки –4,3 %, я произвел имитационное моделирование по методу Монте-Карло (100 тыс. симуляций) и получил 100 000 различных вариантов величины дохода для выборки из 1015 ставок.

Средняя величина дохода составила –4,297%, а среднеквадратическое отклонение рассчитанных величин было равно 4,373%. В допустимых пределах погрешности это фактически совпадает со значением 4,389 %, полученным по формуле.