Расчет сумм ставок как мерило успеха на рынке

Несколько месяцев назад два типстера, Андрес Барж-Жиль и Альфредо Гарсия-Иерно опубликовали результаты своего исследования того, как беттор должен рассчитывать суммы своих ставок, если прогнозы вероятности выигрыша не определены. Кончено, стоит ли вообще заключать пари с букмекерами при таких условиях, решать вам, однако такая ситуация возникает достаточно часто, и надо быть к ней готовым.

Для расчета сумм ставок многие игроки используют столь популярный метод, как критерий Келли. Но при условии, что точные вероятности невозможно оценить, бетторы отходят от этого метода, прибегая к другим способам управления своим банкроллом. Попытаемся выделить основные из них, а также рассмотрим их с точки зрения перспективности.

Метод удельных убытков

Итак, первый из них — метод удельных убытков, называемый также методом равных ставок. При этом игрок ставит одну и ту же сумму во всех случаях, независимо от коэффициентов. Чем выше коэффициент, тем больше прибыль в случае выигрыша, но меньше вероятность победы.

В целом можно рассматривать ставки по этому методу удельных как план с использованием критерия Келли, где ожидаемый доход ОД прямо пропорционален коэффициенту. Размер ставки по критерию Келли, как известно рассчитывается по формуле:

ОД / коэффициент – 1

Метод удельных убытков предполагает, что это соотношение остается неизменным. Например, ОД составляет 10 % (0,2), а коэффициент — 2,00. Размер ставки будет равен 0,1. Если повысить коэффициент до 4,00, то ОД должен увеличиться до 30 % (0,3), чтобы размер ставки остался равным 0,1. Коэффициент 101,00 подразумевает, что ОД равен 10, или 1000 %, что немного нереалистично. Это означает, что фактический коэффициент составляет лишь 9,18. Разумеется, букмекерские конторы таких ошибок не совершат.

Если коэффициент стремится к бесконечности, то реальный коэффициент будет стремиться к максимальному значению выражения «1 / ставка», в данном случае 10. Серьезный недостаток метода удельных убытков заключается в том, что при ставках на маловероятные исходы риск слишком высок. Для сторонников критерия Келли это было бы логично, только если бы ОД действительно увеличивался пропорционально коэффициенту, но это утверждение не верно.

Метод удельной прибыли

Другая распространенная стратегия управления финансами — метод удельной прибыли. При нем беттор стремится получить одинаковую прибыль вне зависимости от коэффициента. Если целевой выигрыш, или прибыль, составляет 1000 рублей, то при коэффициенте 2,00 необходимо поставить 1000 рублей, а при коэффициенте 5,00 — 250 рублей. Размер ставок пропорционален обратной величине коэффициента – 1. С точки зрения критерия Келли, метод удельной прибыли предполагает, что между ОД и критерием Келли нет корреляции, и ОД остается одинаковым независимо от коэффициента.

Но в этом методе даже на первый взгляд присутствует некоторое несоответствие. На самом ли деле преимущество игрока будет одинаковым при коэффициентах 1,11 и 111,00? Дисперсия показывает, что это предположение нереалистично. В самом деле, если бы ОД при коэффициенте 111,00 составлял 20 % (0,2), то такой же ОД при коэффициенте 1,11 означал бы, что фактический коэффициент меньше 1, а это совершенно бессмысленно. Вероятность какого-либо исхода не может быть больше 100 %, и это очевидно.

Метод удельного влияния

Авторы упомянутого исследования предложили свой альтернативный план расчета ставок — метод удельного влияния, предполагая, что этот план лучше сочетается с методом расчета на основе критерия Келли. В этом методе разница в банкролле между выигрышем и проигрышем остается неизменной вне зависимости от котировок ставок.

Но здесь размер ставки обратно пропорционален коэффициенту, в отличие от метода удельной прибыли, где он пропорционален обратной величине коэффициента – 1. Таким образом, если сумма ставки составляет 1000 рублей при коэффициенте 2,00, то при коэффициенте 5,00 она будет составлять 40о рублей. В каждом случае разница между выигрышем и проигрышем составляет 2000 рублей (+1000/–1000 рублей в первом случае и +1600/–400 рублей во втором).

В данном случае ОД пропорционален выражению «коэффициент – 1 / коэффициент». Это означает, что ОД увеличивается при повышении коэффициента, но его рост замедляется ближе к пределу, так как это соотношение быстро стремится к 1. Так, если ОД = 0,1 при коэффициенте 2,00, то предел ОД составляет 0,2. Хотя это не такой радикальный сценарий, как в методе удельной прибыли, где ОД остается неизменным, в нем все равно недооценивается возможность более высокого ОД при больших котировках.

Величина доходности успешных типстеров, специализирующихся на скачках, более чем вдвое превышает доход игроков на рынках азиатского гандикапа или ставок на разницу в счете. Однако это еще не означает, что эти игроки более искусны или удачливы.

На приведенном ниже Графике 1 показано, как ОД меняется относительно коэффициента в трех методах расчета ставок, при условии что ОД = 3 % при коэффициенте 2,00 в каждом случае:

Исследователи проанализировали базу данных ставок Pyckio и пришли к выводу, что соотношение между ОД и коэффициентом в методе удельного влияния наиболее точно соответствует наблюдаемым и прогнозируемым (на основе цен при закрытии) доходам типстеров, что выглядит не очень убедительно. Мы выяснили, что расчет ставок по методу удельного влияния приносит ОД, который максимум вдвое превышает ОД при коэффициенте 2,00, но существуют ли более выгодные варианты?

Метод t-распределения

t-распределение, как и нормальное распределение (вместо которого оно используется, когда известно стандартное отклонение только для выборки, а не для всей совокупности), помогает определить вероятность той или иной выборки, при условии что известно среднее значение совокупности.

В основе этого метода лежит t-статистика или t-показатель, из которого можно получать вероятности. При расчете по методу удельных убытков, если коэффициенты ваших ставок не сильно варьируются, этот показатель можно приблизительно рассчитать по следующей формуле:

здесь n — это количество ставок, o — средний коэффициент, а r — возврат инвестиций или прибыль + 1.

Этот метод представляет собой меру количества стандартных отклонений прибыли от ожидаемого среднего значения (0), если ставки размещает неопытный игрок при честных коэффициентах. Например, если t-показатель равен 2, то при отсутствии опыта ваша прибыль могла бы быть больше только в 2,5 % случаев. Таким образом, t-показатель представляет собой меру вероятности. Чем выше t-показатель, тем менее вероятен рассматриваемый случай. Попытаемся определить с его помощью, насколько вероятны те или иные значения ОД (для неопытного игрока) в зависимости от коэффициентов.

Асимметрия прибыли

Предположим, что вы размещаете ставку на команду, вероятность победы которой составляет 80 %, с честным коэффициентом 1,25. А теперь допустим, что букмекер ошибочно полагает, будто вероятность победы составляет 75 %. Он проводит акцию, предлагая ставки без маржи. Его коэффициент составляет 1,333. Соответственно, ОД составляет 6,667 % (1,333/1,25 – 1 или 0,80/0,75 – 1).

Рассмотрим и другой сценарий: фактическая вероятность равна 20 % (честный коэффициент 5,00), но букмекер считает, что она равна 15 % (опубликован коэффициент 6,667). В этом случае ОД составляет 33,33 % (6,667/5,00 – 1 или 0,20/0,15 – 1). Разница между ожидаемым вами процентом выигрыша и прогнозом букмекера остается неизменной, но ОД увеличивается в 5 раз. Похоже, с точки зрения ОД, эквивалентные ошибки имеют более серьезные последствия при более высоких коэффициентах, но насколько они вероятны?

Симметрия вероятности

Попробуем переделать приведенную выше формулу t-показателя, предположив, что для всех наших ставок действует один коэффициент, o. Так как нам известно, что r = q / p, где p — это вероятность, подразумеваемая коэффициентом букмекера (т. е. 1/o), а q — прогнозируемая вероятность, можно выявить такую формулу:

Предположим, что n, количество ставок, составляет 100. При q = 0,8 и p = 0,75 получается, что t = 1,25. Но и при q = 0,2 и p = 0,15 также получится, что t = 1,25. При условии, что букмекер, а не наша модель, оказался прав, такой t-показатель указывает, что вероятность исхода составляет 10,7 %.

При размещении более 100 ставок мы прогнозируем прибыль более 6,667 % при коэффициенте 1,333, или более 33,33 % при коэффициенте 6,667, в 10,7 % случаев. Более высокая прибыль при больших коэффициентах так же вероятна, как и меньшая прибыль при меньших коэффициентах.

Попытаемся продемонстрировать эту симметрию вероятности с помощью приведенных ниже таблиц. Для наглядности выбраны экстремальные значения. Конечно, ни один игрок не сможет получить такие хорошие, или, наоборот, плохие результаты в большинстве случаев.

На Таблице 1 показана асимметрия ОД для разных пар p и q. На Таблице 2 показана симметрия t-показателей. Для наглядности показаны абсолютные t-показатели (без знака «минус» в отрицательных значениях ОД, когда q < p). Одинаково вероятны не только пары p/q, равные 0,3/0,7 и 0,7/0,3, но и 0,7/0,5 и 0,3/0,1, 0,8/0,7 и 0,2/0,1.

Новая функция ОД-коэффициента

При заданных значений коэффициента и ОД существует вероятность t (которая удваивается при 4-кратном увеличении количества ставок). Можно и по-другому сформулировать формулу t-показателя, выразив его через r. Получается громоздкое выражение второго порядка с еще более громоздким решением:

Как видите, приведенная формула намного сложнее, чем «коэффициент – 1 / коэффициент», но мы все равно попробуем построить по ней график, где ОД = 0,03, а коэффициент составляет 2,00. Этот График 2 показан ниже наряду с графиками предыдущих функций ОД-коэффициента для методов удельных убытков, удельной прибыли и удельного влияния, уже разобранных нами:

Несмотря на громоздкость этой функции, она более логична, учитывая то, что прогнозируемая прибыль интерпретируется с точки зрения статистической вероятности. При расчете ставок по методу удельного влияния ОД никогда не может превышать 6 %, если он составляет 3 % при коэффициенте 2,00. Но с этой функцией он может расти бесконечно, хотя и не так нереалистично быстро, как в методе удельных убытков, но в рамках, прогнозируемых статической дисперсией. При коэффициенте 10 он составляет 9,4 %, при коэффициенте 50 — 23,3 %, а при коэффициенте 1000 — 150 %.

Есть и очевидный недостаток этой функции, основанной на t-показателе, и заключается в том, что она предполагает неопытность игрока. Она просто выражает вероятность тех или иных исходов при отсутствии навыков. Но это неправильное толкование. Даже для профессиональных игроков действуют те же статистические законы, связанные с дисперсией.  Положение оранжевой кривой изменится, но ее форма останется прежней. На Графике 3 ниже некоторые возможные траектории в зависимости от удачи или квалификации игроков, как бы вы это ни называли. Исходная кривая для игрока с ОД, равным 3 % при коэффициенте 2,00, по-прежнему обозначается желтым цветом:

Испытание новой функции

Попробуем проверить применимость этой новой функции ОД-коэффициента. Проанализировав подборку данных о коэффициентах на футбольные матчи европейских лиг за сезон 2012–2013 годов, мы обнаружили более 55 тысяч случаев, в которых наблюдалось прибыльное значение ОД (>0). Среднее значение составляло 2,20 % (кстати, фактическая эффективность метода удельных убытков составляла 1,77 % — вполне в рамках статической погрешности модели) при среднем коэффициенте 3,30. Используя эти значения, мы можем построить График 4 функции ОД-коэффициента по нашей формуле для корней квадратного уравнения. Он обозначен желтым цветом ниже:

Если сравнить его с фактическими значениями ОД в модели, когда ожидаемый шанс выигрыша равен 1 % (они представлены на схеме как коэффициенты), а затем с графиком функции ОД-коэффициента, полученным по методу удельного влияния, можно увидеть, что функция ОД-коэффициента на основе t-показателя явно намного точнее прогнозирует ОД.

Выводы

Кто-то из читателей может спросить: зачем использовать функцию ОД-коэффициента для прогнозирования ОД при разных коэффициентах, если метод коллективного мнения позволяет сделать это для каждой ставки? Это действительно веский аргумент, так что эту статью, по большей части, можно считать теоретической. Однако даже точные модели демонстрируют гносеологическую неопределенность от ставки к ставке. Более того, случайная неопределенность делает расчет фактической вероятности выигрыша неприменимым на практике.

Задачей нашего эксперимента, как и исследования Барж-Жиля и Гарсии-Иерно – продемонстрировать, как можно приблизительно рассчитать ОД, принимая во внимание количественную неопределенность, если ваша модель прогнозирования не позволяет прогнозировать вероятность выигрыша в явном виде или ваш метод скорее является качественным, то есть больше основан на интуиции, чем на анализе данных. Если вам известны коэффициенты, с помощью этого метода вы можете примерно рассчитать ОД. Зная ОД, вы можете вычислить размер ставки по критерию Келли, используемого большинством бетторов.

Хотя метод с использованием t-показателя может показаться запутанным, его результаты основаны на более логичных выводах о соотношении между вероятностью выигрыша, ожидаемым доходом и вероятностью исхода, а значит, и варьировании фактической прибыли в зависимости от коэффициентов. Думается, этот способ лучше подойдет сторонникам критерия Келли, чем метод удельного влияния, и по сравнению с методами удельных убытков и удельной прибыли он качественно лучше.