Бубнов заявил, что в «Спартаке» ему предлагали допинг

«В первую очередь, я думал о своем здоровье. Никакой допинг не принимал, наотрез отказывался, хотя предлагали — и даже в «Спартаке». Потом общественное мнение. Делалось все на глазах — в ресторанах, например. Это все покрывалось, но люди и болельщики знали. Все расходилось, а я этого не хотел. Я воспитан по-другому был: мне было стыдно перед родителями, перед своей женой. Поэтому я себя вел нормально», — сказал Бубнов в «Коммент.Шоу».

Александр Бубнов является чемпионом (1976), обладателем Кубка (1977) и Суперкубка СССР (1977) в составе московского «Динамо», а также двукратным чемпионом СССР (1987, 1989) в составе «Спартака».