Асимметрия букмекерства: реальный мир ставок

Можно ли измерить, насколько хороши должны быть беттеры, чтобы победить букмекера? Как обычно, мы подразумеваем на простое везение, а долгосрочную ожидаемую прибыльность с помощью принципов стоимостного пари.

Очевидно, мы знаем, что для достижения такого результата мы должны преодолеть маржу букмекера. Тот факт, что лишь небольшому проценту игроков удается достичь этого, свидетельствует о том, что это довольно сложная задача, даже когда маржа на популярные рынки составляет всего 2%.

Кроме того, есть несколько инструментов Excel, которые могут служить для измерения статистических шансов достижения прибыльной ожидаемой ценности, а также с их помощью можно судить о том, как эти показатели могут распределяться с учетом определенных предположений о ставках.

Однако на этот раз мы намерены исследовать именно то, как положение «быть лучше, чем букмекер» выглядит с точки зрения неопределенности. Само пари, как мы знаем, является неопределенным делом, даже для лучших прогнозистов. Насколько мы должны уйти от этой неопределенности, чтобы преодолеть маржу и стать долгосрочным победителем?

Благодаря попыткам имитировать ответ, становится ясно, насколько хорош такой букмекер, как Pinnacle, на самом деле, и почему он должен быть таким постоянно, чтобы оставаться с прибылью. Это и есть асимметрия букмекерства.

Два типа неопределенности

Есть два типа неопределенности. Во-первых, существует алеаторная или статистическая неопределенность. Это относится к присущей неопределенности, обусловленной вероятностной изменчивостью. Повторите процесс много раз, например, бросая монету, и тонкие вариации в начальных условиях приведут к различным результатам. Эти различия остаются неизвестными заранее. Алеаторную неопределенность невозможно уменьшить.

Найдутся и такие, кто будет утверждать, что это просто следствие ограниченной информации и недостаточной вычислительной мощности. Если бы мы могли точно знать все начальные условия, мы могли бы с уверенностью предсказать точные результаты.

В практическом плане сложность этих систем сводит такой сбор информации к уровню невозможного. Однако, возможно, более важно то, что вероятностная, а не детерминированная природа реальности в крошечных масштабах означает, что даже теоретически эта задача обречена на провал.

Именно по этой причине имеет смысл говорить об «истинных» вероятностях исходов и не обманываться, считая их детерминированными (либо 0%, либо 100%). Конечно, в спорте, в отличие от подбрасывания монет или броска костей, мы не знаем и не можем знать эти «истинные» вероятности, но имеет смысл рассматривать нашу задачу так, как будто они существуют.

Второй тип неопределенности – это эпистемическая или модельная неопределенность, возникающая из-за неполного понимания того, что мы пытаемся моделировать. Эпистемическая неопределенность может быть уменьшена с помощью дополнительных знаний о модели.

Цель количественной оценки неопределенности состоит в том, чтобы свести эпистемические неопределенности к алеаторным неопределенностям, хотя на практике из-за сложности системы и вероятностной природы реальности граница между ними может быть нечеткой.

Разница между двумя типами неопределенности хорошо показана в одном из исследований, сделанных экспертом БК Pinnacle:

«Предположим, вы даете футбольной команде 60% вероятность победы, ставите на нее деньги, но она проигрывает. Почему вы проиграли свою ставку? Возможно, вы были правы в своей оценке, но вам не повезло – произошло событие с 40%-ной вероятностью. Это процессная (алеаторная) неопределенность – хорошая ставка, но неудачный результат. С другой стороны, возможно, вы ошиблись в своей оценке – истинная вероятность могла быть 50%, или 30%, или даже 1%. Вы сделали ставку, которую считали хорошей, но на самом деле это была плохая ставка. Это параметрическая (эпистемическая) неопределенность. Поскольку истинная вероятность неизвестна, очень трудно вычислить, насколько ваши результаты – как хорошие, так и плохие – обусловлены неопределенностью процесса, а не неопределенностью параметров.»

Моделирование неопределенности в контексте ставок

В условиях ставок алеаторная неопределенность будет одинаковой для всех. Одни и те же события происходят в любом отдельно взятом спортивном соревновании, с теми же влияющими переменными. Каждый игрок живет одной и той же историей.

Достаточно легко моделировать алеаторную неопределенность с помощью простого генератора случайных чисел. Предположим, у нас есть соревнование, где вероятность победы и поражения 50 на 50, с честными шансами (то есть с коэффициентом 2.00). Для моделирования алеаторной неопределенности мы можем просто использовать генератор случайных чисел для вывода чисел между 0 и 1. Ниже 0,5 – это выигрышная ставка. Выше – это проигрышный вариант. Распределение результатов (выигрышных и проигрышных ставок) будет относиться к биномиальному.

Моделирование эпистемической неопределенности является немного более проблематичным, поскольку совершенно не очевидно, каким будет распределение связанных с ней ошибок. В упомянутом исследовании использовалось бета-распределение для моделирования, но мы прибегнем к распределению Гаусса. Кроме того, предположим, что распределение эпистемических ошибок сосредоточено вокруг истинной вероятности исхода. Конечно, если систематические ошибки присутствуют, такой метод нельзя считать достаточно верным.

Для букмекера, по крайней мере, это является вполне обоснованным предположением, поскольку для крупных спортивных рынков ставки Pinnacle очень эффективны. Это означает, что в среднем они очень точно отражают лежащие в основе вероятности истинного результата, даже если в индивидуальном порядке будут допущены ошибки. Это также верно для игроков, но, возможно, в меньшей степени.

Распределение в эпистемической неопределенности

Чтобы смоделировать эффект эпистемической неопределенности, мы создадим серию из 1000 гипотетических ставок, где истинная вероятность выигрыша каждой ставки составляет 50%. Для каждой ставки наша гипотетическая прогнозная модель показывает некоторую эпистемическую ошибку в оценке тех истинных вероятностей выигрыша, размер которых определяется шестью различными стандартными отклонениями: 0%, 1%, 2%, 3% 4% и 5%. Например, при стандартном отклонении в 1% чуть более двух третей моделируемых «истинных» вероятностей выигрыша будет находиться между 49% и 51%, а около 95% - между 48% и 52%.

Для больших стандартных отклонений разброс в этих «истинных» вероятностях выигрыша, полученных с помощью прогнозной модели, будет еще больше, как показано на Диаграмме 1 ниже. Очевидно, что при стандартном отклонении 0% все вероятности выигрыша будут равны 50%, поэтому эта линия не показана. Чем шире распределение, тем больше эпистемическая неопределенность.

Из графика видно, что хотя каждое из этих распределений вероятности выигрыша представляет собой эффективную модель – среднее значение всегда составляет 50% – величина эпистемической неопределенности является переменной.

Инвертирование «истинных» вероятностей выигрыша предоставит нам распределение коэффициентов. Из-за обратной зависимости между вероятностью выигрыша и подразумеваемыми коэффициентами, они будут логарифмически нормально распределены.

В выборке из 1000 ставок это означает, что смоделированные «истинные» коэффициенты, как правило, будут колебаться между 1,88 и 2,13, 1,78 и 2,28, 1,69 и 2,46, 1,60 и 2,66, а также 1,52 и 2,89 для стандартных отклонений 1%, 2%, 3%, 4% и 5% соответственно. Это показано на Диаграмме 2:

Букмекерская контора против беттора

Давайте используем эту модель эпистемической неопределенности в оценке истинных коэффициентов, чтобы провести подобие соревнования между букмекером и игроком. Для каждой ставки букмекерская контора публикует то, что она считает истинными коэффициентами, со своей маржой 2,5%, снижающей цену ставки. Например, они выставили бы коэффициент 1.95, если бы думали, что истинная цена равна 2.00. В выборке из тысячи ставок эти коэффициенты будут варьироваться в зависимости от распределения, показанного выше.

У игрока есть другая модель, и он использует ее для оценки истинных коэффициентов. Если опубликованные букмекером коэффициенты выше, чем оценка игрока, то игрок делает ставку в 1 единицу. Если нет, то нет и ставки.

Для расчета ставок, истинные коэффициенты для каждой ставки, неизвестные как букмекеру, так и беттору, составляют 2.00, и генератор случайных чисел используется для определения результата. Как уже объяснялось ранее, любое отклонение здесь является следствием алеаторной неопределенности.

Такое соревнование было повторено с использованием моделирования Монте-Карло 10 тысяч раз. Результаты представлены в Таблице 1 ниже. Сначала посмотрим на среднее число ставок, сделанных для каждой из 36 различных пар эпистемической неопределенности «букмекера-беттера». Чем больше эпистемическая неопределенность (показанная в заголовках строк и столбцов) для беттора или букмекера, тем более вероятно, что разница между двумя моделями будет больше, чем размер маржи, следовательно, тем более вероятно, что ставка будет выигрышной.

Очевидно, что там, где и букмекер, и беттор действуют идеально, ставок не будет, поскольку букмекерская контора всегда будет публиковать коэффициент 1.95, а игрок всегда будет знать, что это короче, чем истинная цена.

Таблица 2 показывает среднюю (ожидаемую) доходность, которую удалось достичь игроку для каждой пары неопределенности. Помните, что чем меньше стандартное отклонение, тем ниже эпистемическая неопределенность и тем лучше модель.

Неудивительно, что когда букмекерская контора действует идеально и прогнозирует вероятность каждой ставки точно, то независимо от того, насколько хорош игрок, он потеряют сумму, эквивалентную размеру маржи (2,5%). Небольшая изменчивость вокруг этого числа является просто следствием алеаторной неопределенности. Более точное моделирование Монте-Карло ее бы снизило.

Также обратите внимание, что там, где модель беттора лучше (менее неопределенная), чем модель букмекера, этого достаточно, чтобы получить ожидаемую прибыль. Но есть также и нечто весьма загадочное. Когда модель букмекера плоха, игрок все еще может получить ожидаемую прибыль, даже если его модель хуже. Например, если эпистемическая неопределенность букмекера имеет стандартное отклонение 3% в вероятности выигрыша, то игрок все еще может рассчитывать на получение +0.68%, когда его модель имеет стандартное отклонение неопределенности 5%. Это положение кажется абсурдным.

Асимметрия букмекерства

Чтобы разрешить этот парадокс, мы должны более пристально посмотреть, как было построено наше соревнование. Как и на любом рынке, букмекерская контора выставит свою цену. Затем игрок должен решить, примет ли он вызов, делая это только в том случае, если опубликованные котировки выше, чем его собственные оцененные «истинные» коэффициенты. Если это произойдет, букмекерская контора уже не сможет отозвать предложение о ставке.

В нашем модельном сценарии, если какая-либо эпистемическая неопределенность присутствует, 50% ошибок букмекера будут показывать «истинные» коэффициенты, которые длиннее, чем реальные истинные коэффициенты (2,00), а остальные 50% - наоборот, короче. Аналогично, 50% ошибок игрока будут либо длиннее, либо короче 2.00.

Однако, когда коэффициенты букмекера меньше, чем 2.00, существует меньше возможностей для того, чтобы коэффициенты беттора были еще короче, таким образом, предполагая размещение ставки. И наоборот, существует больше возможностей для размещения ставки, когда коэффициенты букмекера слишком велики.

Эта асимметрия приводит к большей доле положительных ожидаемых стоимостных ставок по сравнению с отрицательными. Чем больше эпистемическая неопределенность, тем больше асимметрия. Когда и букмекер, и игрок показывают 2%-ное стандартное отклонение в неопределенности, 56% ставок имеют положительное ожидаемое значение, а средний коэффициент ставки составляет 2,01. Когда стандартное отклонение в неопределенности возрастает до 5% для обоих, 68% ставок заключаются с коэффициентом более 2,00 со средним значением 2,10.

Если вместо этого мы запустим другую модель, в которой и игрок, и букмекер должны взаимно договориться о том, следует ли участвовать в ставке с коэффициентом, опубликованным третьей стороной, эта асимметрия в значительной степени исчезает. Тогда они оба также конкурируют с третьей стороной и ее моделью эпистемической неопределенности. Если эпистемическая неопределенность этой третьей стороны мала, то и букмекер, и игрок, если они имеют одинаково неопределенные модели, будут терять эквивалент маржи, установленной третьей стороной.

Реальный мир ставок

Все эти выводы основываются на одном важном и, вероятно, нереалистичном предположении. Предполагается, что букмекерская и беттерская модели полностью независимы друг от друга. На самом деле это маловероятно, поскольку разработчики моделей, как правило, используют аналогичные данные и аналогичные алгоритмы прогнозирования.

Если букмекер заходит слишком далеко в своей оценке истинных коэффициентов, то есть реальный шанс, что игрок тоже сделает это, и наоборот. Некоторые игроки также могут быть частично привязаны к цене букмекера.

Любая модельная корреляция между букмекером и игроком снизит ожидаемое значение для игрока и затруднит его успех.

Тем не менее, эта модель эпистемической неопределенности дает ключ к пониманию того, насколько хорошим должен быть типичный букмекер, чтобы оставаться прибыльным, даже имея «задел» в виде собственной маржи. Поскольку букмекеры не могут отменить ставки после того, как игрок принял их, они должны быть уверены, что они уменьшили свою эпистемическую неопределенность до минимума.

Мы никогда не сможем узнать, что букмекер действительно считает «истинными» коэффициентами своих рынков. Мы также не можем знать, каковы реальные истинные котировки, вычисленные в результате этих оценок. Следовательно, мы не можем точно определить, какая эпистемическая неопределенность существует на рынке.

Однако мы можем сделать обоснованное предположение о том, что коэффициенты линии закрытия букмекера (без учета маржи) представляют собой реальные истинные коэффициенты. Затем разница между предытоговыми коэффициентами и коэффициентами линии закрытия будет служить мерой того, насколько велика была ошибка модели.

Взяв выборку предварительных и заключительных коэффициентов БК Pinnacle для футбольных матчей английской Премьер-лиги этого сезона, удаляя маржу и стандартизируя коэффициенты закрытия до 2,00, стандартное отклонение вероятности выигрыша, вычисленное на основе итоговых котировок, составляет немногим более 2%. Это ближе к нижнему краю наших смоделированных стандартных отклонений, что лишний раз доказывает, что модель БК Pinnacle довольно эффективна для минимизации эпистемической неопределенности.

Чтобы победить букмекера, игроки должны быть по крайней мере так же хороши, с асимметрией на их стороне. Если эпистемическая ошибка БК Pinnacle в матчах с вероятностью выигрыша 50% составляет всего 2%, то у игрока не так много возможностей для преодоления такого положения дел. Очевидно, что беттеры могут увеличить вероятность выигрыша ставки в свою пользу, применяя минимальные ожидаемые пороговые значения перед размещением ставок в БК Pinnacle. Но любая корреляция моделей усложнит эту задачу.

Мы уже говорили, что обыграть букмекера, и в частности БК Pinnacle, - задача не из легких. И теперь у нас есть еще одно доказательство этому. Устанавливая коэффициенты, букмекер, в отличие от своих клиентов, не имеет возможности выбирать, какая ставка будет хорошей. Ему приходится каждый раз рисковать своими средствами и надеяться, что его эксперты все сделали правильно. Для БК Pinnacle минимизация эпистемической неопределенности и максимизация эффективности шансов – основа букмекерского бизнеса.